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\documentclass[french,11pt]{article}
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\usepackage[T1]{fontenc}
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\usepackage[utf8]{inputenc}
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\usepackage{fullpage}
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\usepackage{babel}
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\usepackage{amsmath}
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\usepackage{amssymb}
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\usepackage{eurosym}
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\title{Invariant caché CRDS et APL}
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\author{Lilya \bsc{Slimani} \& Denis \bsc{Merigoux}}
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\date{21 avril 2022}
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\begin{document}
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\maketitle
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Ce document a pour but d'expliciter un invariant caché régissant les étapes finales
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du calcul de l'APL (secteur locatif, logement-foyer et accession à la propriété).
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Les articles D823-10, D823-16 et D823-14 du code de la construction et de l'habitation
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définissent tous la pénultième étape du calcul de l'APL par la phrase suivante:
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\begin{quote}
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\itshape Ce dernier résultat, obtenu par application des dispositions précédentes, est diminué d'un montant
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représentatif des contributions sociales qui s'y appliquent, arrondi à l'euro inférieur,
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puis majoré de ce montant représentatif.
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\end{quote}
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La formulation est sybilline, il nous faut l'expliciter. En effet, l'APL est soumise
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à la Contribution de la Réduction pour la Dette Sociale (CRDS) prévue par l'ordonnance
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96-50 du 24 janvier 1996 au titre de son article 14. Par contre, l'APL
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est exonérée de la Contribution Sociale Généralisée (CSG) au titre de l'article
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L136-1-2 du code de la sécurité sociale.
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Ainsi, ce qui devra être distribué au ménage n'est pas le montant de l'APL tel que
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défini par le code de la construction et de l'habitation, mais le montant minoré
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de la CRDS prélevée à la source. Or, il semblerait que par la formulation des articles
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D823-10, D823-16 et D823-14 du code de la construction et de l'habitation, l'administration
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a voulu exercer un contrôle fin du montant effectivement versé au ménage: il faut
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arrondir le montant à l'euro inférieur.
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Afin d'obtenir le résultat souhaité en bout de chaîne après prélèvement de la CRDS,
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les rédacteurs du code de la construction et de l'habitation effectuent donc cette
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manipulation peu orthodoxe qui consiste à anticiper le prélèvement de la CRDS,
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l'arrondir à l'euro inférieur, puis rajouter la CRDS pour qu'elle soit prélevée
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conformément à l'ordonnance de 1996. Cela donne donc les formules suivantes,
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avec $\textrm{APL}_{\text{brut}}$ et $\textrm{APL}_\textrm{net}$ les montants
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d'APL avant et après prélèvement de la CRDS, et $\textrm{APL}_0$ le montant
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initial de l'APL avant la rectification de l'arrondi:
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\begin{align*}
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\textrm{APL}_{\textrm{brut}} & = \lfloor \textrm{APL}_0 - \textrm{CRDS}(\textrm{APL}_0)\rfloor + \textrm{CRDS}(\textrm{APL}_0) \\
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\textrm{APL}_{\textrm{net}} & = \textrm{APL}_{\textrm{brut}} - \textrm{CRDS}(\textrm{APL}_{\textrm{brut}} ) \\
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& = \lfloor \textrm{APL}_0 - \textrm{CRDS}(\textrm{APL}_0)\rfloor
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\end{align*}
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Cependant, les plus attentifs d'entre vous remarqueront que cette dernière simplication
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des termes de CRDS n'est pas exacte! En effet, il se cache en fait un terme
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\begin{align*}
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\Delta & = \textrm{CRDS}(\textrm{APL}_0) - \textrm{CRDS}(\textrm{APL}_{\textrm{brut}} ) \\
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& = \textrm{CRDS}(\textrm{APL}_0 -\textrm{APL}_{\textrm{brut}} ) \quad \text{ car la CRDS est proportionnelle} \\
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& = \textrm{CRDS}( \textrm{APL}_0 - \textrm{CRDS}(\textrm{APL}_0) - \lfloor \textrm{APL}_0 - \textrm{CRDS}(\textrm{APL}_0) \rfloor)
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\end{align*}
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En notant $\textrm{APL}_{\textrm{non arrondie}} \triangleq \textrm{APL}_0 - \textrm{CRDS}(\textrm{APL}_0)$, alors on a
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\[
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\Delta = \textrm{CRDS}(\textrm{APL}_{\textrm{non arrondie}} - \lfloor \textrm{APL}_{\textrm{non arrondie}} \rfloor)
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\]
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Dès lors, il est facile de constater que $0 \; \text{\euro} \leqslant \textrm{APL}_{\textrm{non arrondie}} - \lfloor \textrm{APL}_{\textrm{non arrondie}}\rfloor < 1 \; \text{\euro}$.
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Or, le taux de la CRDS étant de 0,5\%, on a forcément $\Delta < 0,01\;\text{\euro}$ et
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donc pour la pratique du versement $\Delta = 0$, ce qui explique pourquoi on a
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\[
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\textrm{APL}_{\textrm{net}} = \lfloor \textrm{APL}_{\textrm{non arrondie}}\rfloor
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\]
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À noter cependant que cette astuce ne marche que parce que le taux de CRDS est
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inférieur à 1\% !
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\end{document}
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