2024-04-04 10:27:01 +03:00
|
|
|
|
---
|
|
|
|
|
|
category: Algorithms & Data Structures
|
|
|
|
|
|
name: Asymptotic Notation
|
|
|
|
|
|
contributors:
|
|
|
|
|
|
- ["Jake Prather", "http://github.com/JakeHP"]
|
|
|
|
|
|
- ["Divay Prakash", "http://github.com/divayprakash"]
|
|
|
|
|
|
translators:
|
|
|
|
|
|
- ["pru-mike", "http://github.com/pru-mike"]
|
|
|
|
|
|
lang: ru-ru
|
|
|
|
|
|
---
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
# О-символика
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
## Что это такое?
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О-символика, или асимптотическая запись, — это система символов, позволяющая
|
|
|
|
|
|
оценить время выполнения алгоритма, устанавливая зависимость времени выполнения
|
|
|
|
|
|
от увеличения объёма входных данных. Она также известна как оценка
|
|
|
|
|
|
сложности алгоритмов. Станет ли алгоритм невероятно медленным, когда
|
|
|
|
|
|
объём входных данных увеличится? Будет ли алгоритм выполняться достаточно быстро,
|
|
|
|
|
|
если объём входных данных возрастёт? О-символика позволяет ответить на эти
|
|
|
|
|
|
вопросы.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
## Можно ли по-другому найти ответы на эти вопросы?
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Один способ — это подсчитать число элементарных операций в зависимости от
|
|
|
|
|
|
различных объёмов входных данных. Хотя это и приемлемое решение, тот объём
|
|
|
|
|
|
работы, которого оно потребует, даже для простых алгоритмов делает его
|
|
|
|
|
|
использование неоправданным.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Другой способ — это измерить, какое время алгоритм потребует для завершения на
|
|
|
|
|
|
различных объёмах входных данных. В то же время, точность и относительность
|
|
|
|
|
|
этого метода (полученное время будет относиться только к той машине, на которой
|
|
|
|
|
|
оно вычислено) зависит от среды выполнения: компьютерного аппаратного
|
|
|
|
|
|
обеспечения, мощности процессора и т.д.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
## Виды О-символики
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В первом разделе этого документа мы определили, что О-символика
|
|
|
|
|
|
позволяет оценивать алгоритмы в зависимости от изменения размера входных
|
|
|
|
|
|
данных. Представим, что алгоритм — это функция f, n — размер входных данных и
|
|
|
|
|
|
f(n) — время выполнения. Тогда для данного алгоритма f с размером входных
|
|
|
|
|
|
данных n получим какое-то результирующее время выполнения f(n).
|
|
|
|
|
|
Из этого можно построить график, где ось y — время выполнения, ось x — размер входных
|
|
|
|
|
|
данных, а точки на графике — это время выполнения для заданного размера входных
|
|
|
|
|
|
данных.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С помощью О-символики можно оценить функцию или алгоритм
|
|
|
|
|
|
несколькими различными способами. Например, можно оценить алгоритм исходя
|
|
|
|
|
|
из нижней оценки, верхней оценки, тождественной оценки. Чаще всего встречается
|
|
|
|
|
|
анализ на основе верхней оценки. Как правило, не используется нижняя оценка,
|
|
|
|
|
|
потому что она не подходит под планируемые условия. Отличный пример — алгоритмы
|
|
|
|
|
|
сортировки, особенно добавление элементов в древовидную структуру. Нижняя оценка
|
|
|
|
|
|
большинства таких алгоритмов может быть дана как одна операция. В то время как в
|
|
|
|
|
|
большинстве случаев добавляемые элементы должны быть отсортированы
|
|
|
|
|
|
соответствующим образом при помощи дерева, что может потребовать обхода целой
|
|
|
|
|
|
ветви. Это и есть худший случай, для которого планируется верхняя оценка.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
### Виды функций, пределы и упрощения
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
Логарифмическая функция — log n
|
|
|
|
|
|
Линейная функция — an + b
|
|
|
|
|
|
Квадратичная функция — an^2 + bn +c
|
|
|
|
|
|
Степенная функция — an^z + . . . + an^2 + a*n^1 + a*n^0, где z — константа
|
|
|
|
|
|
Показательная функция — a^n, где a — константа
|
|
|
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приведены несколько базовых функций, используемых при определении сложности в
|
|
|
|
|
|
различных оценках. Список начинается с самой медленно возрастающей функции
|
|
|
|
|
|
(логарифм, наиболее быстрое время выполнения) и следует до самой быстро
|
|
|
|
|
|
возрастающей функции (экспонента, самое медленное время выполнения). Отметим,
|
|
|
|
|
|
что в то время, как «n», или размер входных данных, возрастает в каждой из этих функций,
|
|
|
|
|
|
результат намного быстрее возрастает в квадратичной, степенной
|
|
|
|
|
|
и показательной по сравнению с логарифмической и линейной.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Крайне важно понимать, что при использовании описанной далее нотации необходимо
|
|
|
|
|
|
использовать упрощённые выражения.
|
|
|
|
|
|
Это означает, что необходимо отбрасывать константы и слагаемые младших порядков,
|
|
|
|
|
|
потому что если размер входных данных (n в функции f(n) нашего примера)
|
|
|
|
|
|
увеличивается до бесконечности (в пределе), тогда слагаемые младших порядков
|
|
|
|
|
|
и константы становятся пренебрежительно малыми. Таким образом, если есть
|
|
|
|
|
|
константа, например, размера 2^9001 или любого другого невообразимого размера,
|
|
|
|
|
|
надо понимать, что её упрощение внесёт значительные искажения в точность
|
|
|
|
|
|
оценки.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т.к. нам нужны упрощённые выражения, немного скорректируем нашу таблицу...
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
Логарифм — log n
|
|
|
|
|
|
Линейная функция — n
|
|
|
|
|
|
Квадратичная функция — n^2
|
|
|
|
|
|
Степенная функция — n^z, где z — константа
|
|
|
|
|
|
Показательная функция — a^n, где a — константа
|
|
|
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
### О Большое
|
|
|
|
|
|
О Большое, записывается как **О**, — это асимптотическая запись для оценки худшего
|
|
|
|
|
|
случая, или для ограничения заданной функции сверху. Это позволяет сделать
|
|
|
|
|
|
_**асимптотическую оценку верхней границы**_ скорости роста времени выполнения
|
|
|
|
|
|
алгоритма. Пусть `f(n)` — время выполнения алгоритма, а `g(n)` — заданная временная
|
|
|
|
|
|
сложность, которая проверяется для алгоритма. Тогда `f(n)` — это O(g(n)), если
|
|
|
|
|
|
существуют действительные константы c (c > 0) и n<sub>0</sub>, такие,
|
|
|
|
|
|
что `f(n)` <= `c g(n)` выполняется для всех n, начиная с некоторого n<sub>0</sub> (n > n<sub>0</sub>).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*Пример 1*
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
f(n) = 3log n + 100
|
|
|
|
|
|
g(n) = log n
|
|
|
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Является ли `f(n)` O(g(n))?
|
|
|
|
|
|
Является ли `3 log n + 100` O(log n)?
|
|
|
|
|
|
Посмотрим на определение О Большого:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
3log n + 100 <= c * log n
|
|
|
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Существуют ли константы c и n<sub>0</sub>, такие, что выражение верно для всех n > n<sub>0</sub>?
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
3log n + 100 <= 150 * log n, n > 2 (не определенно для n = 1)
|
|
|
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Да! По определению О Большого `f(n)` является O(g(n)).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*Пример 2*
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
f(n) = 3 * n^2
|
|
|
|
|
|
g(n) = n
|
|
|
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Является ли `f(n)` O(g(n))?
|
|
|
|
|
|
Является ли `3 * n^2` O(n)?
|
|
|
|
|
|
Посмотрим на определение О Большого:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
3 * n^2 <= c * n
|
|
|
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Существуют ли константы c и n<sub>0</sub>, такие, что выражение верно для всех n > n<sub>0</sub>?
|
|
|
|
|
|
Нет, не существуют. `f(n)` НЕ ЯВЛЯЕТСЯ O(g(n)).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
### Омега Большое
|
|
|
|
|
|
Омега Большое, записывается как **Ω**, — это асимптотическая запись для оценки
|
|
|
|
|
|
лучшего случая, или для ограничения заданной функции снизу. Это позволяет сделать
|
|
|
|
|
|
_**асимптотическую оценку нижней границы**_ скорости роста времени выполнения
|
|
|
|
|
|
алгоритма.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
`f(n)` является Ω(g(n)), если существуют действительные константы
|
|
|
|
|
|
c (c > 0) и n<sub>0</sub> (n<sub>0</sub> > 0), такие, что `f(n)` >= `c g(n)` для всех n > n<sub>0</sub>.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
### Примечание
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Асимптотические оценки, сделанные при помощи О Большого и Омега Большого, могут
|
|
|
|
|
|
как являться, так и не являться точными. Для того чтобы обозначить, что границы не
|
|
|
|
|
|
являются асимптотически точными, используются записи О Малое и Омега Малое.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
### О Малое
|
|
|
|
|
|
O Малое, записывается как **о**, — это асимптотическая запись для оценки верхней
|
|
|
|
|
|
границы времени выполнения алгоритма при условии, что граница не является
|
|
|
|
|
|
асимптотически точной.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
`f(n)` является o(g(n)), если можно подобрать такие действительные константы,
|
|
|
|
|
|
что для всех c (c > 0) найдётся n<sub>0</sub> (n<sub>0</sub> > 0), так
|
|
|
|
|
|
что `f(n)` < `c g(n)` выполняется для всех n (n > n<sub>0</sub>).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определения О-символики для О Большого и О Малого похожи. Главное отличие в том,
|
|
|
|
|
|
что если f(n) = O(g(n)), тогда условие f(n) <= c g(n) выполняется, если _**существует**_
|
|
|
|
|
|
константа c > 0, но если f(n) = o(g(n)), тогда условие f(n) < c g(n) выполняется
|
|
|
|
|
|
для _**всех**_ констант c > 0.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
### Омега Малое
|
|
|
|
|
|
Омега Малое, записывается как **ω**, — это асимптотическая запись для оценки
|
|
|
|
|
|
верхней границы времени выполнения алгоритма при условии, что граница не является
|
|
|
|
|
|
асимптотически точной.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
`f(n)` является ω(g(n)), если можно подобрать такие действительные константы,
|
|
|
|
|
|
что для всех c (c > 0) найдётся n<sub>0</sub> (n<sub>0</sub> > 0), так
|
|
|
|
|
|
что `f(n)` > `c g(n)` выполняется для всех n (n > n<sub>0</sub>).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определения Ω-символики и ω-символики похожи. Главное отличие в том, что
|
|
|
|
|
|
если f(n) = Ω(g(n)), тогда условие f(n) >= c g(n) выполняется, если _**существует**_
|
|
|
|
|
|
константа c > 0, но если f(n) = ω(g(n)), тогда условие f(n) > c g(n)
|
|
|
|
|
|
выполняется для _**всех**_ констант c > 0.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
### Тета
|
|
|
|
|
|
Тета, записывается как **Θ**, — это асимптотическая запись для оценки
|
|
|
|
|
|
_***асимптотически точной границы***_ времени выполнения алгоритма.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
`f(n)` является Θ(g(n)), если для некоторых действительных
|
|
|
|
|
|
констант c1, c2 и n<sub>0</sub> (c1 > 0, c2 > 0, n<sub>0</sub> > 0)
|
|
|
|
|
|
`c1 g(n)` < `f(n)` < `c2 g(n)` для всех n (n > n<sub>0</sub>).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∴ `f(n)` является Θ(g(n)) означает, что `f(n)` является O(g(n))
|
|
|
|
|
|
и `f(n)` является Ω(g(n)).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О Большое — основной инструмент для анализа сложности алгоритмов.
|
|
|
|
|
|
Также см. примеры по ссылкам.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
### Заключение
|
|
|
|
|
|
Такую тему сложно изложить кратко, поэтому обязательно стоит пройти по ссылкам и
|
|
|
|
|
|
посмотреть дополнительную литературу. В ней даётся более глубокое описание с
|
|
|
|
|
|
определениями и примерами.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
## Дополнительная литература
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* [Алгоритмы на Java](https://www.ozon.ru/context/detail/id/18319699/)
|
|
|
|
|
|
* [Алгоритмы. Построение и анализ](https://www.ozon.ru/context/detail/id/33769775/)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
## Ссылки
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* [Оценки времени исполнения. Символ O()](http://algolist.manual.ru/misc/o_n.php)
|
|
|
|
|
|
* [Асимптотический анализ и теория вероятностей](https://www.lektorium.tv/course/22903)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
## Ссылки (англ.)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* [Algorithms, Part I](https://www.coursera.org/learn/algorithms-part1)
|
|
|
|
|
|
* [Cheatsheet 1](http://web.mit.edu/broder/Public/asymptotics-cheatsheet.pdf)
|
|
|
|
|
|
* [Cheatsheet 2](http://bigocheatsheet.com/)
|
|
|
|
|
|
|
