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category: Algorithms & Data Structures
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name: Set theory
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contributors:
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- ["Bárbara Luz", "https://github.com/barbluz"]
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Teoria de conjuntos é uma área da matemática que estuda conjuntos, suas operações e propriedades.
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- Um conjunto é uma coleção de itens disjuntos.
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## Símbolos básicos
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### Operações
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- a operação de união ∪, significa "ou"
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- a operação de interseção ∩, que significa "e"
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- a operação de exclusão \, significa "sem" ou "menos"
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- a operação de conjunto complementar ', que significa "o inverso de"
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- a operação ×,que significa "o produto cartesiano de"
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### Outros símbolos
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- : ou |, símbolos que significam "tal que"
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- o símbolo de pertencimento ∈, que significa "pertence a"
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- o símbolo ⊆, que significa "subconjunto de" (neste caso, o subconjunto pode ser igual ao conjunto)
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- o símbolo ⊂, que significa "subconjunto próprio" (neste caso, o subconjunto não pode ser igual ao conjunto)
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### Conjuntos canônicos
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- ∅, o conjunto vazio, isto é, o conjunto que não possui itens;
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- ℕ, o conjunto de todos os números naturais;
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- ℤ, o conjunto de todos os números inteiros;
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- ℚ, o conjunto de todos os números racionais;
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- ℝ, o conjunto de todos os números reais.
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Existem algumas ressalvas sobre os conjuntos canônicos:
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- Apesar de o conjunto vazio não conter itens, o conjunto vazio é subconjunto de si mesmo (e portanto de todos os outros conjuntos);
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- Matemáticos geralmente não concordam sobre o zero ser um número natural e os livros tipicamente explicitam se o autor considera ou não o zero como um número natural;
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### Cardinalidade
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A cardinalidade (ou tamanho) de um conjunto é determinado pela quantidade de itens no conjunto. O operador de cardinalidade é |...|
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Por exemplo, se S = {1, 2, 4}, então |S| = 3
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### O Conjunto Vazio
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- o conjunto vazio pode ser contruído em notação de conjuntos utilizando condições impossíveis, como por exemplo: ∅ = { x : x ≠ x }, ou ∅ = { x : x ∈ N, x < 0 };
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- o conjunto vazio é sempre único (ou seja, existe um e apenas um conjunto vazio)
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- o conjunto vazio é subconjunto de todos os conjuntos
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- a cardinalidade do conjunto vazio é 0, ou seja, |∅| = 0.
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## Representando conjuntos
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### Definição Literal
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Um conjunto pode ser contruído literalmente fornecendo uma lista completa dos itens contigos no conjunto. Por exemplo S = {a, b, c, d}
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### Definição por compreensão
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Conjuntos também podem ser descritos de uma maneira mais descritiva, baseando-se em sujeito e predicado, de forma tal que S = {sujeito: predicado}. Por exemplo:
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A = { x : x é uma vogal } = { a, e, i, o, u, y} (lê-se x, tal que x é uma vogal)
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B = { x : x ∈ N, x < 10 } = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
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C = { x : x = 2k, k ∈ N } = { 0, 2, 4, 6, 8, ... }
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```
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Ou pode-se também aplicar uma função ao sujeito, ex:
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D = { 2x : x ∈ N } = { 0, 2, 4, 6, 8, ... }
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```
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## Relações
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### Pertencimento
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- Se um valor a está contido num conjunto A, então dizemos que a pertence a A e denotamos por a ∈ A.
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- Se o valor a não está contido no conjunto A, então dizemos que a não pertence a A e denotamos por a ∉ A
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### Igualdade
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- Se dois conjuntos contém os mesmos itens, então dizemos que os conjuntos são iguals, ex. A = B
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- A ordenação não importa quando vamos avaliar a igualdade, ex: { 1, 2, 3, 4 } = { 2, 3, 1, 4 }
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- Conjuntos são disjuntos, o que significa que os elementos não podem ser repetidos, ex: { 1, 2, 2, 3, 4, 3, 4, 2 } = { 1, 2, 3, 4 }.
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- Dois conjuntos A e B são iguais se, e somente se, A ⊆ B e B ⊆ A.
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### Conjuntos especiais
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O Conjunto das Partes
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- Seja A um conjunto qualquer. O conjunto que contém todos os possíveis subconjutnos de A é chamado "conjunto das partes" e é denotado como P(A). Se o conjunto A contém n elementos, então o conjunto das partes conterá 2^n elementos.
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P(A) = { x : x ⊆ A }
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## Operações entre dois conjuntos
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### União
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Dados dois conjuntos A e B, a união entre esses dois conjuntos são os itens que aparecem em A ou em B, denotado por A ∪ B.
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A ∪ B = { x : x ∈ A ∪ x ∈ B }
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### Interseção
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Dados dois conjuntos A e B, a interseção entre esses dois conjuntos são os itens que aparecem em A e em B, denotado por A ∩ B.
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A ∩ B = { x : x ∈ A, x ∈ B }
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### Diferença
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Dados dois conjuntos A e B, o conjunto da diferença entre A e B são todos os itens de A que não pertencem a B.
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A \ B = { x : x ∈ A, x ∉ B }
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### Diferença simétrica
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Dados dois Conjuntos A e B, a diferença simétrica são todos os itens entre A e B que não aparecem na interseção desses dois conjuntos.
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A △ B = { x : ((x ∈ A) ∩ (x ∉ B)) ∪ ((x ∈ B) ∩ (x ∉ A)) }
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A △ B = (A \ B) ∪ (B \ A)
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### Produto Cartesiano
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Dados dois conjuntos A e B, o produto cartesiano de A e B consiste no conjunto contendo todas as combinações dos itens de A e B.
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A × B = { (x, y) | x ∈ A, y ∈ B }
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