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category: Algorithms & Data Structures
name: Set theory
lang: pt-pt
contributors:
  - ["Bárbara Luz", "https://github.com/barbluz"]
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Teoria de conjuntos é uma área da matemática que estuda conjuntos, suas operações e propriedades.
- Um conjunto é uma coleção de itens disjuntos.

## Símbolos básicos

### Operações
- a operação de união ∪, significa "ou"
- a operação de interseção ∩, que significa "e"
- a operação de exclusão \, significa "sem" ou "menos"
- a operação de conjunto complementar ', que significa "o inverso de"
- a operação ×,que significa "o produto cartesiano de"

### Outros símbolos
- : ou |, símbolos que significam "tal que"
- o símbolo de pertencimento ∈, que significa "pertence a"
- o símbolo ⊆, que significa "subconjunto de" (neste caso, o subconjunto pode ser igual ao conjunto)
- o símbolo ⊂, que significa "subconjunto próprio" (neste caso, o subconjunto não pode ser igual ao conjunto)

### Conjuntos canônicos
- ∅, o conjunto vazio, isto é, o conjunto que não possui itens;
- ℕ, o conjunto de todos os números naturais;
- ℤ, o conjunto de todos os números inteiros;
- ℚ, o conjunto de todos os números racionais;
- ℝ, o conjunto de todos os números reais.

Existem algumas ressalvas sobre os conjuntos canônicos:
- Apesar de o conjunto vazio não conter itens, o conjunto vazio é subconjunto de si mesmo (e portanto de todos os outros conjuntos);
- Matemáticos geralmente não concordam sobre o zero ser um número natural e os livros tipicamente explicitam se o autor considera ou não o zero como um número natural;


### Cardinalidade
A cardinalidade (ou tamanho) de um conjunto é determinado pela quantidade de itens no conjunto. O operador de cardinalidade é |...|

Por exemplo, se S = {1, 2, 4}, então |S| = 3

### O Conjunto Vazio
- o conjunto vazio pode ser contruído em notação de conjuntos utilizando condições impossíveis, como por exemplo: ∅ = { x : x ≠ x }, ou ∅ = { x : x ∈ N, x < 0 };
- o conjunto vazio é sempre único (ou seja, existe um e apenas um conjunto vazio)
- o conjunto vazio é subconjunto de todos os conjuntos
- a cardinalidade do conjunto vazio é 0, ou seja, |∅| = 0.

## Representando conjuntos

### Definição Literal
Um conjunto pode ser contruído literalmente fornecendo uma lista completa dos itens contigos no conjunto. Por exemplo S = {a, b, c, d}

### Definição por compreensão
Conjuntos também podem ser descritos de uma maneira mais descritiva, baseando-se em sujeito e predicado, de forma tal que S = {sujeito: predicado}. Por exemplo:

```
A = { x : x é uma vogal } = { a, e, i, o, u, y}         (lê-se x, tal que x é uma vogal)
B = { x : x ∈ N, x < 10 } = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
C = { x : x = 2k, k ∈ N } = { 0, 2, 4, 6, 8, ... }
```

Ou pode-se também aplicar uma função ao sujeito, ex:
```
D = { 2x : x ∈ N } = { 0, 2, 4, 6, 8, ... }
```

## Relações

### Pertencimento
- Se um valor a está contido num conjunto A, então dizemos que a pertence a A e denotamos por a ∈ A.
- Se o valor a não está contido no conjunto A, então dizemos que a não pertence a A e denotamos por a ∉ A

### Igualdade
- Se dois conjuntos contém os mesmos itens, então dizemos que os conjuntos são iguals, ex. A = B
- A ordenação não importa quando vamos avaliar a igualdade, ex: { 1, 2, 3, 4 } = { 2, 3, 1, 4 }
- Conjuntos são disjuntos, o que significa que os elementos não podem ser repetidos, ex: { 1, 2, 2, 3, 4, 3, 4, 2 } = { 1, 2, 3, 4 }.
- Dois conjuntos A e B são iguais se, e somente se,  A ⊆ B  e B ⊆ A.

### Conjuntos especiais
O Conjunto das Partes
- Seja A um conjunto qualquer. O conjunto que contém todos os possíveis subconjutnos de A é chamado "conjunto das partes" e é denotado como P(A). Se o conjunto A contém n elementos, então o conjunto das partes conterá 2^n elementos.
```
P(A) = { x : x ⊆ A }
```

## Operações entre dois conjuntos

### União
Dados dois conjuntos A e B, a união entre esses dois conjuntos são os itens que aparecem em A ou em B, denotado por A ∪ B.

```
A ∪ B = { x : x ∈ A ∪ x ∈ B }
```

### Interseção
Dados dois conjuntos A e B, a interseção entre esses dois conjuntos são os itens que aparecem em A e em B, denotado por A ∩ B.

```
A ∩ B = { x : x ∈ A, x ∈ B }
```

### Diferença
Dados dois conjuntos A e B, o conjunto da diferença entre A e B são todos os itens de A que não pertencem a B.
```
A \ B = { x : x ∈ A, x ∉ B }
```

### Diferença simétrica
Dados dois Conjuntos A e B, a diferença simétrica são todos os itens entre A e B que não aparecem na interseção desses dois conjuntos.

```
A △ B = { x : ((x ∈ A) ∩ (x ∉ B)) ∪ ((x ∈ B) ∩ (x ∉ A)) }

A △ B = (A \ B) ∪ (B \ A)
```

### Produto Cartesiano
Dados dois conjuntos A e B, o produto cartesiano de A e B consiste no conjunto contendo todas as combinações dos itens de A e B.
```
A × B = { (x, y) | x ∈ A, y ∈ B }
```