@@ -0,0 +1,259 @@
1+{
2+ "opr": [
3+ [
4+ "Дать определение умножения матриц. Коммутативна ли эта операция? Ответ пояснить.",
5+ "Дать определения ступенчатого вида матрицы и канонического вида матрицы.",
6+ "Перечислить элементарные преобразования строк матрицы.",
7+ "Сформулировать теорему о методе Гаусса (алгоритм приводить не нужно).",
8+ "Дать определения перестановки и подстановки.",
9+ "Дать определения знака и четности подстановки.",
10+ "Выписать общую формулу для вычисления определителя произвольного порядка.",
11+ "Какие три условия достаточно наложить на функцию от столбцов матрицы, чтобы она обязательно была детерминантом?",
12+ "Выписать формулы для разложения определителя по строке и по столбцу.",
13+ "Что такое фальшивое разложение?",
14+ "Выписать формулы Крамера для квадратной матрицы произвольного порядка. Когда с их помощью можно найти решение СЛАУ?",
15+ "Что такое дополняющий минор и что такое алгебраическое дополнение?",
16+ "Дать определение союзной матрицы.",
17+ "Дать определение обратной матрицы. Сформулировать критерий ее существования.",
18+ "Выписать формулу для нахождения обратной матрицы.",
19+ "Как найти обратную к произведению матриц?",
20+ "Дать определение минора.",
21+ "Дать определение базисного минора. Какие строки называются базисными?",
22+ "Дать определение линейной комбинации строк. Что такое нетривиальная линейная комбинация?",
23+ "Дать определение линейной зависимости строк матрицы.",
24+ "Дать определение линейно независимых столбцов матрицы.",
25+ "Сформулировать критерий линейной зависимости.",
26+ "Дать определение ранга матрицы.",
27+ "Сформулировать теорему о базисном миноре.",
28+ "Сформулировать теорему о ранге матрицы.",
29+ "Сформулировать критерий невырожденности квадратной матрицы.",
30+ "Выписать свойства решений однородных и неоднородных СЛАУ.",
31+ "Сформулировать теорему Кронекера-Капелли.",
32+ "Дать определение фундаментальной системы решений (ФСР) однородной СЛАУ."
33+ ],
34+ [
35+ "Сформулируйте теорему о структуре общего решения однородной системы линейных алгебраических урав- нений.",
36+ "Сформулируйтетеоремуоструктуреобщегорешениянеоднороднойсистемылинейныхалгебраическихурав- нений.",
37+ "Что такое алгебраическая и тригонометрическая форма записи комплексного числа?",
38+ "Дайте определения модуля и аргумента комплексного числа. Что такое главное значение аргумента ком- плексного числа?",
39+ "Сложение, умножение комплексных чисел. Что происходит с аргументами и модулями комплексных чисел при умножении?",
40+ "Что такое комплексное сопряжение? Как можно делить комплексные числа?",
41+ "Выпишите формулу Муавра.",
42+ "Как найти комплексные корни n-ой степени из комплексного числа? Сделайте эскиз, на котором отметьте исходное число и все корни из него.",
43+ "Сформулируйте основную теорему алгебры. Сформулировать теорему Безу.",
44+ "Выпишите формулу Эйлера. Выпишите выражения для синуса и косинуса через экспоненту.",
45+ "Выпишите формулы Виета.",
46+ "Какие многочлены называются неприводимыми?",
47+ "Сформулируйте утверждение о разложение многочленов на неприводимые множители над комплексными числами.",
48+ "Сформулируйте утверждение о разложение многочленов на неприводимые множители над действительными числами.",
49+ "Дайте определение векторного произведения векторов в трехмерном пространстве.",
50+ "Сформулируйте три алгебраических свойства векторного произведения.",
51+ "Выпишите формулу для вычисления векторного произведения в координатах, заданных в ортонормирован- ном базисе.",
52+ "Дайте определение смешанного произведения векторов. Как вычислить объем тетраэдра с помощью сме- шанного произведения?",
53+ "Выпишите формулу для вычисления смешанного произведения в координатах, заданных в ортонормирован- ном базисе.",
54+ "Сформулируйте критерий компланарности трех векторов с помощью смешанного произведения.",
55+ "Дайте определение прямоугольной декартовой системы координат.",
56+ "Что такое уравнение поверхности и его геометрический образ?",
57+ "Сформулируйте теорему о том, что задает любое линейное уравнение на координаты точки в трехмерном пространстве.",
58+ "Дайте определение нормали к плоскости.",
59+ "Выпишите формулу для расстояния от точки до плоскости.",
60+ "Общие уравнения прямой. Векторное уравнение прямой. Параметрические и канонические уравнения пря- мой.",
61+ "Сформулируйте критерий принадлежности двух прямых одной плоскости.",
62+ "Выпишите формулу для вычисления расстояния от точки до прямой.",
63+ "Выпишите формулу для вычисления расстояния между двумя скрещивающимися прямыми.",
64+ "Какие бинарные операции называются ассоциативными, а какие коммутативными?",
65+ "Дайте определения полугруппы и моноида. Приведите примеры.",
66+ "Сформулируйте определение группы.",
67+ "Что такое симметрическая группа? Укажите число элементов в ней.",
68+ "Что такое общая линейная и специальная линейная группы?",
69+ "Сформулируйте определение абелевой группы. Приведите пример.",
70+ "Дайте определение подгруппы. Приведите пример группы и ее подгруппы.",
71+ "Дайте определение гомоморфизма групп. Что такое ядро гомоморфизма групп?",
72+ "Дайте определение изоморфизма групп. Приведите пример.",
73+ "Сформулируйте определение циклической группы. Приведите пример.",
74+ "Дайте определение порядка элемента группы.",
75+ "Дайте определение таблицы Кэли.",
76+ "Сколько существует, с точностью до изоморфизма, циклических групп данного порядка?"
77+ ],
78+ [
79+ "Что такое группа диэдра? Что такое знакопеременная группа? Укажите число элементов в них.",
80+ "Сформулируйте утверждение о связи порядка элемента, порождающего циклическую группу, с порядком группы.",
81+ "Сформулируйте утверждение о том, какими могут быть подгруппы группы целых чисел по сложению.",
82+ "Дайте определение левого смежного класса по некоторой подгруппе.",
83+ "Дайте определение нормальной подгруппы. Что такое индекс подгруппы?",
84+ "Сформулируйте теорему Лагранжа.",
85+ "Сформулируйте две леммы, которые нужны для доказательства теоремы Лагранжа.",
86+ "Сформулируйте три следствия из теоремы Лагранжа.",
87+ "Сформулируйте критерий нормальности подгруппы, использующий сопряжение.",
88+ "Дайте определение факторгруппы.",
89+ "Что такое естественный гомоморфизм?",
90+ "Сформулируйте критерий нормальности подгруппы, использующий понятие ядра гомоморфизма.",
91+ "Сформулируйте теорему о гомоморфизме групп. Приведите пример.",
92+ "Что такое прямое произведение групп?",
93+ "Что такое действие группы на множестве?",
94+ "Сформулируйте определения орбиты и стабилизатора.",
95+ "Сформулируйте утверждение о количестве элементов в орбите действия конечной группы.",
96+ "Приведите три примера действия группы на себе.",
97+ "Сформулируйте определение автоморфизма и внутреннего автоморфизма.",
98+ "Что такое центр группы? Что можно сказать о его свойствах?",
99+ "Чему изоморфна факторгруппа группы по ее центру?",
100+ "Сформулируйте теорему Кэли.",
101+ "Дайте определение кольца.",
102+ "Что такое коммутативное кольцо? Приведите примеры коммутативного и некоммутативного колец.",
103+ "Что такое подкольцо, порожденное множеством?",
104+ "Дайте определение делителей нуля.",
105+ "Дайте определение целостного кольца. Приведите пример.",
106+ "Какие элементы кольца называются обратимыми?",
107+ "Сформулируйте критерий целостности для нетривиального коммутативного кольца с единицей.",
108+ "Дайте определение поля. Приведите три примера.",
109+ "Дайте определение подполя. Привести пример пары: поле и его собственное подполе.",
110+ "Дайте определение характеристики поля. Привести примеры: поля конечной положительной характеристики и поля нулевой характеристики.",
111+ "Что такое простое подполе?",
112+ "Сформулируйте утверждение о том, каким будет простое подполе в зависимости от характеристики.",
113+ "Дайте определение расширения поля, полученного с помощью присоединения элемента. Приведите пример.",
114+ "Дайте определение идеала. Что такое главный идеал?",
115+ "Сформулируйте определение гомоморфизма колец.",
116+ "Сформулируйте теорему о гомоморфизме колец. Приведите пример.",
117+ "Сформулируйте теорему о том, когда факторколько кольца многочленов над полем само является полем.",
118+ "Сформулируйте критерий того, что кольцо вычетов по модулю p является полем.",
119+ "Дайте определение алгебраического элемента над полем.",
120+ "Сформулируйте китайскую теорему об остатках (через изоморфизм колец).",
121+ "Что такое поле рациональных дробей?",
122+ "Сформулируйте утверждение о том, сколько элементов может быть в конечном поле и как устроены его подполя.",
123+ "Сформулируйте утверждение о том, что любое конечное поле может быть реализовано как факторкольцо кольца многочленов по некоторому идеалу.",
124+ "Дайте определение линейного (векторного) пространства.",
125+ "Дайте определение базиса линейного (векторного) пространства.",
126+ "Что такое размерность пространства?",
127+ "Дайте определение матрицы перехода от старого базиса линейного пространства к новому.",
128+ "Выпишите формулу для описания изменения координат вектора при изменении базиса.",
129+ "Дайте определение подпространства в линейном пространстве.",
130+ "Дайте определения линейной оболочки конечного набора векторов и ранга системы векторов.",
131+ "Дайте определения суммы и прямой суммы подпространств.",
132+ "Сформулируйте утверждение о связи размерности суммы и пересечения подпространств.",
133+ "Дайте определение линейного отображения. Приведите пример.",
134+ "Дайте определение матрицы линейного отображения.",
135+ "Выпишите формулу для преобразования матрицы линейного отображения при замене базиса. Как выглядит формула в случае линейного оператора?",
136+ "Сформулируйте определения ядра и образа линейного отображения.",
137+ "Сформулируйте утверждение о связи размерностей ядра и образа линейного отображения.",
138+ "Дайте определения собственного вектора и собственного значения линейного оператора.",
139+ "Дайте определения характеристического уравнения и характеристического многочлена квадратной матри- цы.",
140+ "Сформулируйте утверждение о связи характеристического уравнения и спектра линейного оператора.",
141+ "Дайте определение собственного подпространства.",
142+ "Дайте определения алгебраической и геометрической кратности собственного значения. Какое неравенство их связывает?",
143+ "Дайте определение следа матрицы. Как меняется след матрицы оператора при замене базиса?",
144+ "Каким свойством обладают собственные векторы линейного оператора, отвечающие различным собственным значениям?",
145+ "Сформулируйте критерий диагональности матрицы оператора.",
146+ "Сформулируйте критерий диагонализируемости матрицы оператора с использованием понятия геометриче- ской кратности.",
147+ "Сформулируйте теорему Гамильтона-Кэли.",
148+ "Дайте определение жордановой клетки. Сформулируйте теорему о жордановой нормальной форме матрицы оператора."
149+ ],
150+ [
151+ "Выпишите формулу для количества жордановых клеток заданного размера.",
152+ "Дайте определение алгебры над полем. Приведите два примера.",
153+ "Дайте определение модуля над кольцом. Приведите два примера.",
154+ "Дайте определение евклидова пространства.",
155+ "Выпишите неравенства Коши-Буняковского и треугольника.",
156+ "Дайте определения ортогонального и ортонормированного базисов.",
157+ "Опишите алгоритм ортогонализации Грама-Шмидта.",
158+ "Дайте определение матрицы Грама.",
159+ "Дайте определение сопряженного пространства.",
160+ "Выпишите формулу для преобразования координат ковектора при переходе к другому базису.",
161+ "Дайте определение взаимных базисов.",
162+ "Дайте определение биортогонального базиса.",
163+ "Сформулируйте критерий линейной зависимости с помощью матрицы Грама.",
164+ "Выпишите формулу для преобразования матрицы Грама при переходе к новому базису.",
165+ "Дайте определение ортогонального дополнения.",
166+ "Дайте определения ортогональной проекции вектора на подпространство и ортогональной составляющей.",
167+ "Выпишите формулу для ортогональной проекции вектора на подпространство, заданное как линейная обо- лочка данного линейно независимого набора векторов.",
168+ "Выпишите формулу для вычисления расстояния с помощью определителей матриц Грама.",
169+ "Дайте определение сопряженного оператора в евклидовом пространстве.",
170+ "Дайте определение самосопряженного (симметрического) оператора.",
171+ "Что можно сказать про ортогональное дополнение к образу сопряженного оператора?",
172+ "Сформулируйте теорему Фредгольма и альтернативу Фредгольма.",
173+ "Дайте определение ортогонального оператора.",
174+ "Как найти матрицу сопряженного оператора в произвольном базисе?",
175+ "Сформулируйте определение ортогональной матрицы.",
176+ "Что можно сказать про собственные векторы самосопряженного оператора, отвечающие разным собствен- ным значениям?",
177+ "Каким свойством обладают собственные значения самосопряженного оператора?",
178+ "Сформулируйте критерий ортогональности оператора, использующий его матрицу.",
179+ "Каков канонический вид ортогонального оператора? Сформулируйте теорему Эйлера.",
180+ "Сформулируйте теорему о существовании для самосопряженного оператора базиса из собственных векторов.",
181+ "Сформулируйте теорему о сингулярном разложении.",
182+ "Сформулируйте утверждение о QR-разложении.",
183+ "Сформулируйте утверждение о полярном разложении.",
184+ "Дайте определени билинейной формы.",
185+ "Как меняется матрица билинейной формы при замене базиса?",
186+ "Дайте определение квадратичной формы.",
187+ "Выпишите формулу для преобразования квадратичной формы при замене базиса.",
188+ "Дайте определения положительной и отрицательной определенности квадратичной формы.",
189+ "Какую квадратичную форму называют знакопеременной?",
190+ "Сформулируйте критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы.",
191+ "Сформулируйте следствие критерия Сильвестра для отрицательной определенности квадратичной формы."
192+ ]
193+ ],
194+ "theor": [
195+ [
196+ "Что происходит с произведением матриц при транспонировании? Ответ обосновать.",
197+ "Какие три условия достаточно наложить на функцию от столбцов матрицы, чтобы она обязательно была детерминантом? Ответ обоснуйте для матриц второго порядка.",
198+ "Выписать формулы Крамера для квадратной матрицы произвольного порядка и доказать их.",
199+ "Сформулировать и доказать критерий линейной зависимости.",
200+ "Как связан ранг транспонированной матрицы с рангом исходной матрицы? Ответ обосновать.",
201+ "Сформулировать и доказать следствие теоремы о базисном миноре для квадратных матриц (критерий невырожденности).",
202+ "Сформулировать и доказать критерий существования обратной матрицы. Свойства определителя предпо- лагаются известными. Единственна ли обратная матрица? Ответ обоснуйте.",
203+ "Сформулируйте теорему Кронекера-Капелли и докажите ее.",
204+ "Сформулируйте и докажите теорему о базисном миноре.",
205+ "Сформулируйте и докажите теорему о ранге матрицы (теорема о базисном миноре предполагается известной).",
206+ "Сформулируйте критерий существования ненулевого решения однородной системы линейных уравнений с квадратной матрицей и докажите его.",
207+ "Дайте определение фундаментальной системы решений (ФСР) однородной системы линейных уравнений. Докажите теорему о существовании ФСР."
208+ ],
209+ [
210+ "Сформулируйте теорему о структуре общего решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений и докажите ее (теорема о структуре общего решения однородной системы линейных алгебраических уравнений предполагается известной).",
211+ "Выпишите формулу для вычисления скалярного произведения векторов, заданных своими координатами в произвольном базисе трехмерного пространства, и приведите ее вывод.",
212+ "Выпишите формулу для вычисления векторного произведения в правом ортонормированном базисе трех- мерного пространства и приведите ее вывод.",
213+ "Докажите теорему о том, что любое линейное уравнение на координаты точки в трехмерном пространстве задает плоскость и что любая плоскость определяется линейным уравнением.",
214+ "Выпишите формулу для вычисления расстояния от точки до плоскости и приведите ее вывод.",
215+ "Выпишите формулу Муавра и докажите ее.",
216+ "Докажите теорему о структуре общего решения однородной системы линейных алгебраических уравнений, то есть о том, что произвольное решение однородной СЛАУ может быть представлено в виде линейной комбинации элементов ФСР."
217+ ],
218+ [
219+ "Сформулируйте и докажите утверждение о том, какими могут быть подгруппы группы целых чисел по сложению.",
220+ "Сформулируйте и докажите теорему Лагранжа (включая доказательство лемм). Сформулируйте три следствия из теоремы Лагранжа.",
221+ "Сформулируйте и докажите критерий нормальности подгруппы, использующий сопряжение.",
222+ "Сформулируйте и докажите критерий нормальности подгруппы, использующий понятие ядра гомоморфизма.",
223+ "Сформулируйте и докажите теорему о гомоморфизме групп.",
224+ "Докажите, что центр группы является ее нормальной подгруппой.",
225+ "Сформулируйте и докажите утверждение о том, чему изоморфна факторгруппа группы по ее центру.",
226+ "Сформулируйте и докажите теорему Кэли.",
227+ "Сформулируйте и докажите критерий того, что кольцо вычетов по модулю p является полем.",
228+ "Выпишите и докажите формулу для описания изменения координат вектора при изменении базиса.",
229+ "Выпишите формулу для преобразования матрицы линейного отображения при замене базиса и докажите ее.",
230+ "Сформулируйте и докажите утверждение о связи размерностей ядра и образа линейного отображения.",
231+ "Сформулируйте и докажите утверждение о связи характеристического уравнения и спектра линейного оператора.",
232+ "Сформулируйте и докажите утверждение о том, каким свойством обладают собственные векторы линейного оператора, отвечающие различным собственным значениям.",
233+ "Сформулируйте и докажите критерий диагональности матрицы оператора.",
234+ "Сформулируйте и докажите утверждение о количестве элементов в орбите действия конечной группы.",
235+ "Сформулируйте и докажите утверждение о том, каким будет простое подполе в зависимости от характеристики.",
236+ "Сформулируйтеидокажитетеоремуотом,чтодействиелинейногооператоравконечномерномпространстве полностью определяется матрицей линейного оператора.",
237+ "Каким свойством обладает оператор в n-мерном вещественном пространстве, у которого есть n различных действительных корней? Ответ обоснуйте."
238+ ],
239+ [
240+ "Выпишите и докажите формулу для преобразования координат ковектора при переходе к другому базису.",
241+ "Выпишите и докажите неравенство Коши-Буняковского. Выпишите и докажите неравенство треугольника.",
242+ "Докажите теорему о том, что евклидово пространство можно представить в виде прямой суммы подпространства и его ортогонального дополнения.",
243+ "Выпишите формулу для преобразования матрицы Грама при переходе к новому базису и докажите ее. Что происходит с определителем матрицы Грама при применении процесса ортогонализации Грама-Шмидта? Что можно сказать про знак определителя матрицы Грама? Ответ обоснуйте.",
244+ "Сформулируйте и докажите критерий линейной зависимости набора векторов с помощью матрицы Грама.",
245+ "Выпишите формулу для ортогональной проекции вектора на подпространство, заданное как линейная оболочка данного линейно независимого набора векторов, и докажите ее.",
246+ "Докажите, что для любого оператора в конечномерном евклидовом пространстве существует сопряженный оператор.",
247+ "Сформулируйте и докажите свойство собственных векторов самосопряженного оператора, отвечающих разным собственным значениям.",
248+ "Каким свойством обладают собственные значения самосопряженного оператора? Ответ обоснуйте.",
249+ "Что можно сказать про ортогональное дополнение к образу сопряженного оператора? Ответ обоснуйте. Сформулируйте и докажите теорему Фредгольма.",
250+ "Сформулируйте и докажите теорему о том, что ортогональный оператор переводит ортонормированный базис в ортонормированный. Верно ли обратно? Ответ обоснуйте.",
251+ "Сформулируйте и докажите критерий ортогональности оператора, использующий его матрицу.",
252+ "Сформулируйте теорему о существовании для самосопряженного оператора базиса из собственных векторов. Приведите доказательство в случае различных вещественных собственных значений.",
253+ "Сформулируйте и докажите утверждение о QR-разложении.",
254+ "Сформулируйте и докажите теорему о сингулярном разложении.",
255+ "Как меняется матрица билинейной формы при замене базиса? Как меняется матрица квадратичной формы при замене базиса? Ответ обоснуйте.",
256+ "Сформулируйте и докажите (включая лемму) теорему об инвариантности ранга матрицы квадратичной формы."
257+ ]
258+ ]
259+}