@@ -1,259 +0,0 @@
1−{
2− "opr": [
3− [
4− "Дать определение умножения матриц. Коммутативна ли эта операция? Ответ пояснить.",
5− "Дать определения ступенчатого вида матрицы и канонического вида матрицы.",
6− "Перечислить элементарные преобразования строк матрицы.",
7− "Сформулировать теорему о методе Гаусса (алгоритм приводить не нужно).",
8− "Дать определения перестановки и подстановки.",
9− "Дать определения знака и четности подстановки.",
10− "Выписать общую формулу для вычисления определителя произвольного порядка.",
11− "Какие три условия достаточно наложить на функцию от столбцов матрицы, чтобы она обязательно была детерминантом?",
12− "Выписать формулы для разложения определителя по строке и по столбцу.",
13− "Что такое фальшивое разложение?",
14− "Выписать формулы Крамера для квадратной матрицы произвольного порядка. Когда с их помощью можно найти решение СЛАУ?",
15− "Что такое дополняющий минор и что такое алгебраическое дополнение?",
16− "Дать определение союзной матрицы.",
17− "Дать определение обратной матрицы. Сформулировать критерий ее существования.",
18− "Выписать формулу для нахождения обратной матрицы.",
19− "Как найти обратную к произведению матриц?",
20− "Дать определение минора.",
21− "Дать определение базисного минора. Какие строки называются базисными?",
22− "Дать определение линейной комбинации строк. Что такое нетривиальная линейная комбинация?",
23− "Дать определение линейной зависимости строк матрицы.",
24− "Дать определение линейно независимых столбцов матрицы.",
25− "Сформулировать критерий линейной зависимости.",
26− "Дать определение ранга матрицы.",
27− "Сформулировать теорему о базисном миноре.",
28− "Сформулировать теорему о ранге матрицы.",
29− "Сформулировать критерий невырожденности квадратной матрицы.",
30− "Выписать свойства решений однородных и неоднородных СЛАУ.",
31− "Сформулировать теорему Кронекера-Капелли.",
32− "Дать определение фундаментальной системы решений (ФСР) однородной СЛАУ."
33− ],
34− [
35− "Сформулируйте теорему о структуре общего решения однородной системы линейных алгебраических уравнений.",
36− "Сформулируйте теорему о структуре общего решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений.",
37− "Что такое алгебраическая и тригонометрическая форма записи комплексного числа?",
38− "Дайте определения модуля и аргумента комплексного числа. Что такое главное значение аргумента комплексного числа?",
39− "Сложение, умножение комплексных чисел. Что происходит с аргументами и модулями комплексных чисел при умножении?",
40− "Что такое комплексное сопряжение? Как можно делить комплексные числа?",
41− "Выпишите формулу Муавра.",
42− "Как найти комплексные корни n-ой степени из комплексного числа? Сделайте эскиз, на котором отметьте исходное число и все корни из него.",
43− "Сформулируйте основную теорему алгебры. Сформулировать теорему Безу.",
44− "Выпишите формулу Эйлера. Выпишите выражения для синуса и косинуса через экспоненту.",
45− "Выпишите формулы Виета.",
46− "Какие многочлены называются неприводимыми?",
47− "Сформулируйте утверждение о разложение многочленов на неприводимые множители над комплексными числами.",
48− "Сформулируйте утверждение о разложение многочленов на неприводимые множители над действительными числами.",
49− "Дайте определение векторного произведения векторов в трехмерном пространстве.",
50− "Сформулируйте три алгебраических свойства векторного произведения.",
51− "Выпишите формулу для вычисления векторного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе.",
52− "Дайте определение смешанного произведения векторов. Как вычислить объем тетраэдра с помощью смешанного произведения?",
53− "Выпишите формулу для вычисления смешанного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе.",
54− "Сформулируйте критерий компланарности трех векторов с помощью смешанного произведения.",
55− "Дайте определение прямоугольной декартовой системы координат.",
56− "Что такое уравнение поверхности и его геометрический образ?",
57− "Сформулируйте теорему о том, что задает любое линейное уравнение на координаты точки в трехмерном пространстве.",
58− "Дайте определение нормали к плоскости.",
59− "Выпишите формулу для расстояния от точки до плоскости.",
60− "Общие уравнения прямой. Векторное уравнение прямой. Параметрические и канонические уравнения прямой.",
61− "Сформулируйте критерий принадлежности двух прямых одной плоскости.",
62− "Выпишите формулу для вычисления расстояния от точки до прямой.",
63− "Выпишите формулу для вычисления расстояния между двумя скрещивающимися прямыми.",
64− "Какие бинарные операции называются ассоциативными, а какие коммутативными?",
65− "Дайте определения полугруппы и моноида. Приведите примеры.",
66− "Сформулируйте определение группы.",
67− "Что такое симметрическая группа? Укажите число элементов в ней.",
68− "Что такое общая линейная и специальная линейная группы?",
69− "Сформулируйте определение абелевой группы. Приведите пример.",
70− "Дайте определение подгруппы. Приведите пример группы и ее подгруппы.",
71− "Дайте определение гомоморфизма групп. Что такое ядро гомоморфизма групп?",
72− "Дайте определение изоморфизма групп. Приведите пример.",
73− "Сформулируйте определение циклической группы. Приведите пример.",
74− "Дайте определение порядка элемента группы.",
75− "Дайте определение таблицы Кэли.",
76− "Сколько существует, с точностью до изоморфизма, циклических групп данного порядка?"
77− ],
78− [
79− "Что такое группа диэдра? Что такое знакопеременная группа? Укажите число элементов в них.",
80− "Сформулируйте утверждение о связи порядка элемента, порождающего циклическую группу, с порядком группы.",
81− "Сформулируйте утверждение о том, какими могут быть подгруппы группы целых чисел по сложению.",
82− "Дайте определение левого смежного класса по некоторой подгруппе.",
83− "Дайте определение нормальной подгруппы. Что такое индекс подгруппы?",
84− "Сформулируйте теорему Лагранжа.",
85− "Сформулируйте две леммы, которые нужны для доказательства теоремы Лагранжа.",
86− "Сформулируйте три следствия из теоремы Лагранжа.",
87− "Сформулируйте критерий нормальности подгруппы, использующий сопряжение.",
88− "Дайте определение факторгруппы.",
89− "Что такое естественный гомоморфизм?",
90− "Сформулируйте критерий нормальности подгруппы, использующий понятие ядра гомоморфизма.",
91− "Сформулируйте теорему о гомоморфизме групп. Приведите пример.",
92− "Что такое прямое произведение групп?",
93− "Что такое действие группы на множестве?",
94− "Сформулируйте определения орбиты и стабилизатора.",
95− "Сформулируйте утверждение о количестве элементов в орбите действия конечной группы.",
96− "Приведите три примера действия группы на себе.",
97− "Сформулируйте определение автоморфизма и внутреннего автоморфизма.",
98− "Что такое центр группы? Что можно сказать о его свойствах?",
99− "Чему изоморфна факторгруппа группы по ее центру?",
100− "Сформулируйте теорему Кэли.",
101− "Дайте определение кольца.",
102− "Что такое коммутативное кольцо? Приведите примеры коммутативного и некоммутативного колец.",
103− "Что такое подкольцо, порожденное множеством?",
104− "Дайте определение делителей нуля.",
105− "Дайте определение целостного кольца. Приведите пример.",
106− "Какие элементы кольца называются обратимыми?",
107− "Сформулируйте критерий целостности для нетривиального коммутативного кольца с единицей.",
108− "Дайте определение поля. Приведите три примера.",
109− "Дайте определение подполя. Привести пример пары: поле и его собственное подполе.",
110− "Дайте определение характеристики поля. Привести примеры: поля конечной положительной характеристики и поля нулевой характеристики.",
111− "Что такое простое подполе?",
112− "Сформулируйте утверждение о том, каким будет простое подполе в зависимости от характеристики.",
113− "Дайте определение расширения поля, полученного с помощью присоединения элемента. Приведите пример.",
114− "Дайте определение идеала. Что такое главный идеал?",
115− "Сформулируйте определение гомоморфизма колец.",
116− "Сформулируйте теорему о гомоморфизме колец. Приведите пример.",
117− "Сформулируйте теорему о том, когда факторколько кольца многочленов над полем само является полем.",
118− "Сформулируйте критерий того, что кольцо вычетов по модулю p является полем.",
119− "Дайте определение алгебраического элемента над полем.",
120− "Сформулируйте китайскую теорему об остатках (через изоморфизм колец).",
121− "Что такое поле рациональных дробей?",
122− "Сформулируйте утверждение о том, сколько элементов может быть в конечном поле и как устроены его подполя.",
123− "Сформулируйте утверждение о том, что любое конечное поле может быть реализовано как факторкольцо кольца многочленов по некоторому идеалу.",
124− "Дайте определение линейного (векторного) пространства.",
125− "Дайте определение базиса линейного (векторного) пространства.",
126− "Что такое размерность пространства?",
127− "Дайте определение матрицы перехода от старого базиса линейного пространства к новому.",
128− "Выпишите формулу для описания изменения координат вектора при изменении базиса.",
129− "Дайте определение подпространства в линейном пространстве.",
130− "Дайте определения линейной оболочки конечного набора векторов и ранга системы векторов.",
131− "Дайте определения суммы и прямой суммы подпространств.",
132− "Сформулируйте утверждение о связи размерности суммы и пересечения подпространств.",
133− "Дайте определение линейного отображения. Приведите пример.",
134− "Дайте определение матрицы линейного отображения.",
135− "Выпишите формулу для преобразования матрицы линейного отображения при замене базиса. Как выглядит формула в случае линейного оператора?",
136− "Сформулируйте определения ядра и образа линейного отображения.",
137− "Сформулируйте утверждение о связи размерностей ядра и образа линейного отображения.",
138− "Дайте определения собственного вектора и собственного значения линейного оператора.",
139− "Дайте определения характеристического уравнения и характеристического многочлена квадратной матрицы.",
140− "Сформулируйте утверждение о связи характеристического уравнения и спектра линейного оператора.",
141− "Дайте определение собственного подпространства.",
142− "Дайте определения алгебраической и геометрической кратности собственного значения. Какое неравенство их связывает?",
143− "Дайте определение следа матрицы. Как меняется след матрицы оператора при замене базиса?",
144− "Каким свойством обладают собственные векторы линейного оператора, отвечающие различным собственным значениям?",
145− "Сформулируйте критерий диагональности матрицы оператора.",
146− "Сформулируйте критерий диагонализируемости матрицы оператора с использованием понятия геометрической кратности.",
147− "Сформулируйте теорему Гамильтона-Кэли.",
148− "Дайте определение жордановой клетки. Сформулируйте теорему о жордановой нормальной форме матрицы оператора."
149− ],
150− [
151− "Выпишите формулу для количества жордановых клеток заданного размера.",
152− "Дайте определение алгебры над полем. Приведите два примера.",
153− "Дайте определение модуля над кольцом. Приведите два примера.",
154− "Дайте определение евклидова пространства.",
155− "Выпишите неравенства Коши-Буняковского и треугольника.",
156− "Дайте определения ортогонального и ортонормированного базисов.",
157− "Опишите алгоритм ортогонализации Грама-Шмидта.",
158− "Дайте определение матрицы Грама.",
159− "Дайте определение сопряженного пространства.",
160− "Выпишите формулу для преобразования координат ковектора при переходе к другому базису.",
161− "Дайте определение взаимных базисов.",
162− "Дайте определение биортогонального базиса.",
163− "Сформулируйте критерий линейной зависимости с помощью матрицы Грама.",
164− "Выпишите формулу для преобразования матрицы Грама при переходе к новому базису.",
165− "Дайте определение ортогонального дополнения.",
166− "Дайте определения ортогональной проекции вектора на подпространство и ортогональной составляющей.",
167− "Выпишите формулу для ортогональной проекции вектора на подпространство, заданное как линейная оболочка данного линейно независимого набора векторов.",
168− "Выпишите формулу для вычисления расстояния с помощью определителей матриц Грама.",
169− "Дайте определение сопряженного оператора в евклидовом пространстве.",
170− "Дайте определение самосопряженного (симметрического) оператора.",
171− "Что можно сказать про ортогональное дополнение к образу сопряженного оператора?",
172− "Сформулируйте теорему Фредгольма и альтернативу Фредгольма.",
173− "Дайте определение ортогонального оператора.",
174− "Как найти матрицу сопряженного оператора в произвольном базисе?",
175− "Сформулируйте определение ортогональной матрицы.",
176− "Что можно сказать про собственные векторы самосопряженного оператора, отвечающие разным собственным значениям?",
177− "Каким свойством обладают собственные значения самосопряженного оператора?",
178− "Сформулируйте критерий ортогональности оператора, использующий его матрицу.",
179− "Каков канонический вид ортогонального оператора? Сформулируйте теорему Эйлера.",
180− "Сформулируйте теорему о существовании для самосопряженного оператора базиса из собственных векторов.",
181− "Сформулируйте теорему о сингулярном разложении.",
182− "Сформулируйте утверждение о QR-разложении.",
183− "Сформулируйте утверждение о полярном разложении.",
184− "Дайте определени билинейной формы.",
185− "Как меняется матрица билинейной формы при замене базиса?",
186− "Дайте определение квадратичной формы.",
187− "Выпишите формулу для преобразования квадратичной формы при замене базиса.",
188− "Дайте определения положительной и отрицательной определенности квадратичной формы.",
189− "Какую квадратичную форму называют знакопеременной?",
190− "Сформулируйте критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы.",
191− "Сформулируйте следствие критерия Сильвестра для отрицательной определенности квадратичной формы."
192− ]
193− ],
194− "theor": [
195− [
196− "Что происходит с произведением матриц при транспонировании? Ответ обосновать.",
197− "Какие три условия достаточно наложить на функцию от столбцов матрицы, чтобы она обязательно была детерминантом? Ответ обоснуйте для матриц второго порядка.",
198− "Выписать формулы Крамера для квадратной матрицы произвольного порядка и доказать их.",
199− "Сформулировать и доказать критерий линейной зависимости.",
200− "Как связан ранг транспонированной матрицы с рангом исходной матрицы? Ответ обосновать.",
201− "Сформулировать и доказать следствие теоремы о базисном миноре для квадратных матриц (критерий невырожденности).",
202− "Сформулировать и доказать критерий существования обратной матрицы. Свойства определителя предполагаются известными. Единственна ли обратная матрица? Ответ обоснуйте.",
203− "Сформулируйте теорему Кронекера-Капелли и докажите ее.",
204− "Сформулируйте и докажите теорему о базисном миноре.",
205− "Сформулируйте и докажите теорему о ранге матрицы (теорема о базисном миноре предполагается известной).",
206− "Сформулируйте критерий существования ненулевого решения однородной системы линейных уравнений с квадратной матрицей и докажите его.",
207− "Дайте определение фундаментальной системы решений (ФСР) однородной системы линейных уравнений. Докажите теорему о существовании ФСР."
208− ],
209− [
210− "Сформулируйте теорему о структуре общего решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений и докажите ее (теорема о структуре общего решения однородной системы линейных алгебраических уравнений предполагается известной).",
211− "Выпишите формулу для вычисления скалярного произведения векторов, заданных своими координатами в произвольном базисе трехмерного пространства, и приведите ее вывод.",
212− "Выпишите формулу для вычисления векторного произведения в правом ортонормированном базисе трехмерного пространства и приведите ее вывод.",
213− "Докажите теорему о том, что любое линейное уравнение на координаты точки в трехмерном пространстве задает плоскость и что любая плоскость определяется линейным уравнением.",
214− "Выпишите формулу для вычисления расстояния от точки до плоскости и приведите ее вывод.",
215− "Выпишите формулу Муавра и докажите ее.",
216− "Докажите теорему о структуре общего решения однородной системы линейных алгебраических уравнений, то есть о том, что произвольное решение однородной СЛАУ может быть представлено в виде линейной комбинации элементов ФСР."
217− ],
218− [
219− "Сформулируйте и докажите утверждение о том, какими могут быть подгруппы группы целых чисел по сложению.",
220− "Сформулируйте и докажите теорему Лагранжа (включая доказательство лемм). Сформулируйте три следствия из теоремы Лагранжа.",
221− "Сформулируйте и докажите критерий нормальности подгруппы, использующий сопряжение.",
222− "Сформулируйте и докажите критерий нормальности подгруппы, использующий понятие ядра гомоморфизма.",
223− "Сформулируйте и докажите теорему о гомоморфизме групп.",
224− "Докажите, что центр группы является ее нормальной подгруппой.",
225− "Сформулируйте и докажите утверждение о том, чему изоморфна факторгруппа группы по ее центру.",
226− "Сформулируйте и докажите теорему Кэли.",
227− "Сформулируйте и докажите критерий того, что кольцо вычетов по модулю p является полем.",
228− "Выпишите и докажите формулу для описания изменения координат вектора при изменении базиса.",
229− "Выпишите формулу для преобразования матрицы линейного отображения при замене базиса и докажите ее.",
230− "Сформулируйте и докажите утверждение о связи размерностей ядра и образа линейного отображения.",
231− "Сформулируйте и докажите утверждение о связи характеристического уравнения и спектра линейного оператора.",
232− "Сформулируйте и докажите утверждение о том, каким свойством обладают собственные векторы линейного оператора, отвечающие различным собственным значениям.",
233− "Сформулируйте и докажите критерий диагональности матрицы оператора.",
234− "Сформулируйте и докажите утверждение о количестве элементов в орбите действия конечной группы.",
235− "Сформулируйте и докажите утверждение о том, каким будет простое подполе в зависимости от характеристики.",
236− "Сформулируйте и докажите теорему о том, что действие линейного оператора в конечномерном пространстве полностью определяется матрицей линейного оператора.",
237− "Каким свойством обладает оператор в n-мерном вещественном пространстве, у которого есть n различных действительных корней? Ответ обоснуйте."
238− ],
239− [
240− "Выпишите и докажите формулу для преобразования координат ковектора при переходе к другому базису.",
241− "Выпишите и докажите неравенство Коши-Буняковского. Выпишите и докажите неравенство треугольника.",
242− "Докажите теорему о том, что евклидово пространство можно представить в виде прямой суммы подпространства и его ортогонального дополнения.",
243− "Выпишите формулу для преобразования матрицы Грама при переходе к новому базису и докажите ее. Что происходит с определителем матрицы Грама при применении процесса ортогонализации Грама-Шмидта? Что можно сказать про знак определителя матрицы Грама? Ответ обоснуйте.",
244− "Сформулируйте и докажите критерий линейной зависимости набора векторов с помощью матрицы Грама.",
245− "Выпишите формулу для ортогональной проекции вектора на подпространство, заданное как линейная оболочка данного линейно независимого набора векторов, и докажите ее.",
246− "Докажите, что для любого оператора в конечномерном евклидовом пространстве существует сопряженный оператор.",
247− "Сформулируйте и докажите свойство собственных векторов самосопряженного оператора, отвечающих разным собственным значениям.",
248− "Каким свойством обладают собственные значения самосопряженного оператора? Ответ обоснуйте.",
249− "Что можно сказать про ортогональное дополнение к образу сопряженного оператора? Ответ обоснуйте. Сформулируйте и докажите теорему Фредгольма.",
250− "Сформулируйте и докажите теорему о том, что ортогональный оператор переводит ортонормированный базис в ортонормированный. Верно ли обратно? Ответ обоснуйте.",
251− "Сформулируйте и докажите критерий ортогональности оператора, использующий его матрицу.",
252− "Сформулируйте теорему о существовании для самосопряженного оператора базиса из собственных векторов. Приведите доказательство в случае различных вещественных собственных значений.",
253− "Сформулируйте и докажите утверждение о QR-разложении.",
254− "Сформулируйте и докажите теорему о сингулярном разложении.",
255− "Как меняется матрица билинейной формы при замене базиса? Как меняется матрица квадратичной формы при замене базиса? Ответ обоснуйте.",
256− "Сформулируйте и докажите (включая лемму) теорему об инвариантности ранга матрицы квадратичной формы."
257− ]
258− ]
259−}