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category: Algorithms & Data Structures
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name: Dynamic Programming
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contributors:
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- ["Akashdeep Goel", "http://github.com/akashdeepgoel"]
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translators:
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- ["Ale46", "https://github.com/ale46"]
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lang: it-it
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# Programmazione dinamica
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## Introduzione
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La programmazione dinamica è una tecnica potente utilizzata per risolvere una particolare classe di problemi, come vedremo. L'idea è molto semplice, se hai risolto un problema con l'input dato, salva il risultato come riferimento futuro, in modo da evitare di risolvere nuovamente lo stesso problema.
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Ricordate sempre!
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"Chi non ricorda il passato è condannato a ripeterlo"
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## Modi per risolvere questi problemi
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1. *Top-Down* : Inizia a risolvere il problema specifico suddividendolo. Se vedi che il problema è già stato risolto, rispondi semplicemente con la risposta già salvata. Se non è stato risolto, risolvilo e salva la risposta. Di solito è facile da pensare e molto intuitivo. Questo è indicato come Memoization.
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2. *Bottom-Up* : Analizza il problema e vedi l'ordine in cui i sotto-problemi sono risolti e inizia a risolvere dal sottoproblema banale, verso il problema dato. In questo processo, è garantito che i sottoproblemi vengono risolti prima di risolvere il problema. Si parla di programmazione dinamica.
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## Esempio di programmazione dinamica
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Il problema di "Longest Increasing Subsequence" consiste nel trovare la sottosequenza crescente più lunga di una determinata sequenza. Data una sequenza `S= {a1 , a2 , a3, a4, ............., an-1, an }` dobbiamo trovare il sottoinsieme più lungo tale che per tutti gli `j` e gli `i`, `j<i` nel sotto-insieme `aj<ai`.
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Prima di tutto dobbiamo trovare il valore delle sottosequenze più lunghe (LSi) ad ogni indice i con l'ultimo elemento della sequenza che è ai. Quindi il più grande LSi sarebbe la sottosequenza più lunga nella sequenza data. Per iniziare LSi viene inizializzato ad 1, dato che ai è un element della sequenza (Ultimo elemento). Quindi per tutti gli `j` tale che `j<i` e `aj<ai`, troviamo il più grande LSj e lo aggiungiamo a LSi. Quindi l'algoritmo richiede un tempo di *O(n2)*.
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Pseudo-codice per trovare la lunghezza della sottosequenza crescente più lunga:
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Questa complessità degli algoritmi potrebbe essere ridotta usando una migliore struttura dei dati piuttosto che una matrice. La memorizzazione dell'array predecessore e della variabile come `largest_sequences_so_far` e il suo indice farebbero risparmiare molto tempo.
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Un concetto simile potrebbe essere applicato nel trovare il percorso più lungo nel grafico aciclico diretto.
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```python
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for i=0 to n-1
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LS[i]=1
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for j=0 to i-1
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if (a[i] > a[j] and LS[i]<LS[j])
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LS[i] = LS[j]+1
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for i=0 to n-1
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if (largest < LS[i])
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```
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### Alcuni famosi problemi DP
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- Floyd Warshall Algorithm - Tutorial e Codice sorgente in C del programma: [http://www.thelearningpoint.net/computer-science/algorithms-all-to-all-shortest-paths-in-graphs---floyd-warshall-algorithm-with-c-program-source-code]()
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- Integer Knapsack Problem - Tutorial e Codice sorgente in C del programma: [http://www.thelearningpoint.net/computer-science/algorithms-dynamic-programming---the-integer-knapsack-problem]()
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- Longest Common Subsequence - Tutorial e Codice sorgente in C del programma: [http://www.thelearningpoint.net/computer-science/algorithms-dynamic-programming---longest-common-subsequence]()
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## Risorse online
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* [codechef](https://www.codechef.com/wiki/tutorial-dynamic-programming)
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