@@ -2,7 +2,7 @@
22layout: page
33tag: Linal
44title: KR1.1 Theory
5−permalink: linalKR11Theory
5+permalink: linal/KR11Theory
66---
77
88# Linal KR1.1 Theory
@@ -22,19 +22,19 @@ permalink: linalKR11Theory
2222### 2. Сформулировать и доказать критерий существования обратной матрицы. Свойства определителя предполагаются известными.
2323Обратная матрица \\( A^{-1} \\) существует для любой невырожденной матрицы \\( A \in M_n(\mathbb{R}) : det A \ne 0 \\).
2424
25−__Необходимость:__
25+#### Необходимость:
2626
2727По определению: \\( A \cdot A^{-1} = \\) \\( E \Rightarrow det (A \cdot A^{-1} ) = \\) \\( det E = 1 \Rightarrow det A \ne 0 \\)
2828
29−__Достаточность:__
29+#### Достаточность:
3030
3131Рассмотрим матрицу \\( B = \frac{1}{det A} \cdot \widetilde{A} \\)
3232
3333$$ \widetilde{A} =
3434\begin{pmatrix}
35−A\_{1 \, 1} & \dots & A\_{1 \, n} \\
35+A_{1 \, 1} & \dots & A_{1 \, n} \\
3636\vdots & \ddots & \vdots \\
37−A\_{n \, 1} & \dots & A\_{n \, n}
37+A_{n \, 1} & \dots & A_{n \, n}
3838\end{pmatrix}
3939 $$
4040
@@ -58,6 +58,32 @@ $$
5858
5959### 3. Какие три условия достаточно наложить на функцию от столбцов матриц, чтобы она обязательно была детерминантом? Ответ обоснуйте для матриц второго порядка.
6060
61+1. Кососимметрическая функция строк (столбцов)
62+
63+_Т. е. при нечетном количестве перестановке столбцов/строк функция меняет знак, а при четном -- не меняет._
64+
65+2. Полилинейная функция строк (столбцов)
66+
67+_Т. е. функция линейна относительного каждого отдельного аргумента_
68+_(В формуле нет степеней больше 1.)_
69+
70+3. \\( f(E) = 1 \\)
71+
72+#### Доказательсво:
73+
74+\\( n = 2 \\)
75+
76+$$ f \left(
77+ \begin{pmatrix}
78+ a_{1 \, 1} & a_{1 \, 2} \\
79+ a_{2 \, 1} & a_{2 \, 2}
80+ \end{pmatrix}
81+\right)
82+=
83+
84+$$
85+
86+
6187### 4. Выписать формулы Крамера для квадратной матрицы произвольного порядка и доказать их.
6288
6389### 5. Сформулировать и доказать критерий линейной зависимости.